Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cos?\\ y=2sin?\end{array}$（?為參數(shù)，且0≤?＜2π），曲線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2-3k}{2sinθ-2kcosθ}$（k是常數(shù)，且k∈R）．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和曲線l直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線l被曲線C截的弦是以（$\frac{3}{2}$，1）為中點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cos?\\ y=2sin?\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-2=2cos?\\ y=2sin?\end{array}\right.$，利用三角函數(shù)基本關(guān)系式可得曲線C的普通方程．曲線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2-3k}{2sinθ-2kcosθ}$（k是常數(shù)），由互換公式，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入即可得出曲線l的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線C是圓，曲線l是直線，且以$（\frac{3}{2}\;，\;1）$為弦的中點(diǎn)，利用垂經(jīng)定理、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cos?\\ y=2sin?\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-2=2cos?\\ y=2sin?\end{array}\right.$，
則（x-2）²+y²=（2cos?）²+（2sin?）²，
即曲線C的普通方程為（x-2）²+y²=4．
曲線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2-3k}{2sinθ-2kcosθ}$（k是常數(shù)）．
由互換公式，ρcosθ=x，ρsinθ=y，得2y-2kx=2-3k，
即曲線l的直角坐標(biāo)方程為$y-1=k（x-\frac{3}{2}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線C是圓，曲線l是直線，且以$（\frac{3}{2}\;，\;1）$為弦的中點(diǎn)，
則$k•\frac{1-0}{{\frac{3}{2}-2}}=-1$，則$k=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、垂經(jīng)定理、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．