Question

9．在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A-B）+2sin²$\frac{C}{2}$=1．
（I）若a=3$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{10}$，求c；
（II）求的$\frac{acosC-ccosA}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由已知等式得sin（A-B）=cosC=sin（$\frac{π}{2}-C$），進(jìn)一步得到A-B+C=$\frac{π}{2}$，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得B=$\frac{π}{4}$．再由余弦定理求得c值，已知c=2不合題意舍掉，可得c=4；
（II）由（Ⅰ）知，B=$\frac{π}{4}$，∴A+C=$\frac{3π}{4}$，即C=$\frac{3π}{4}-A$．由正弦定理化$\frac{acosC-ccosA}$中的邊為角，代入B，C，化為$\sqrt{2}sin（2A-\frac{3π}{4}）$，結(jié)合A的范圍得答案．

解答 解：（I）由sin（A-B）+2sin²$\frac{C}{2}$=1，得sin（A-B）=cosC=sin（$\frac{π}{2}-C$）．
∵△ABC是銳角三角形，∴A-B=$\frac{π}{2}-C$，即A-B+C=$\frac{π}{2}$，①
又A+B+C=π，②
聯(lián)立①②得B=$\frac{π}{4}$．
由余弦定理b²=c²+a²-2ca•cosB，得$（\sqrt{10}）^{2}={c}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}-2c×3\sqrt{2}cos\frac{π}{4}$，
即c²-6c+8=0，解得c=2或c=4．
當(dāng)c=2時(shí)，$^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=（\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}=-4＜0$，
此時(shí)A為鈍角，與已知矛盾，∴c≠2．
故c=4；
（II）由（Ⅰ）知，B=$\frac{π}{4}$，∴A+C=$\frac{3π}{4}$，即C=$\frac{3π}{4}-A$．
∴$\frac{acosC-ccosA}$=$\frac{sinAcosC-cosAsinC}{sinB}$=$\frac{sin（A-C）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}sin（2A-\frac{3π}{4}）$，
∵△ABC為銳角三角形，∴$-\frac{π}{4}＜2A-\frac{3π}{4}＜\frac{π}{4}$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（2A-\frac{3π}{4}）＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，則-1＜$\frac{acosC-ccosA}$＜1．
故$\frac{acosC-ccosA}$的取值范圍為（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了利用正弦定理和余弦定理求解三角形，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．