Question

14．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-1，且f′（1）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線y=-x-1的圖象下方．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)的值，求出a即可．
（2）函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線y=-x-1的下方等價于即要證lnx-e^x+1＜0，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)的極值求解函數(shù)的最值，然后判斷結(jié)果即可．

解答 （1）解：對f（x）求導，得f'（x）=1+lnx+2ax，f'（1）=1+2a=-1，得a=-1，f（x）=xlnx-x²-1．…（5分）
（2）證明：“函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線y=-x-1的下方”等價于即要證lnx-e^x+1＜0，
所以只要證h（x）=lnx-e^x+1，$h'（x）=\frac{1}{x}-{e^x}$，
x趨于0時，h'（x）＞0，存在一個極值x₀∈（0，1）使得${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$等價于$h（x）=ln{x_0}-\frac{1}{x_0}+1\;\;（0＜{x_0}＜1）$，
所以h（x）＜0
故函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線y=-x-1的下方．…12分．

點評 本題考查函數(shù)導數(shù)的綜合應用，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，構(gòu)造法的應用．