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4.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=22,∠ABC=90°(如圖1).把△ABD沿BD翻折,使得二面角A-BD-C的平面角為θ(如圖2),M、N分別是BD和BC中點(diǎn).
(1)若E為線段AN上任意一點(diǎn),求證:ME⊥BD;
(2)若θ=\frac{π}{3},求AB與平面BCD所成角的正弦值.
(3)P、Q分別為線段AB與DN上一點(diǎn),使得\frac{AP}{PB}=\frac{NQ}{QD}=λ(λ∈R).令PQ與BD和AN所成的角分別為θ1和θ2.求sinθ1+sinθ2的取值范圍.

分析 (1)取BC的中點(diǎn)N,連接AN交BD于M,利用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面AMN即可.
(2)得到∠AMN是二面角A-BD-C的平面角θ,根據(jù)線面角的定義得到∠ABH是AB與平面BCD所成角,結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.
(3)根據(jù)條件得到θ12=\frac{π}{2},利用消元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解答 證明:(1)取BC的中點(diǎn)N,連接AN交BD于M,
∵BC=2AD=2AB=2\sqrt{2}
∴四邊形ABND是正方形,
∴AM⊥BD,MN⊥BD,
∵AM∩MN=M,
∴BD⊥平面AMN,
∵M(jìn)E?平面AMN,
∴BD⊥ME,
解:(2)若θ=\frac{π}{3},由(1)知∠AMN是二面角A-BD-C的平面角θ,
若θ=∠AMN=\frac{π}{3},從而△AMN為等邊三角形,
取MN的中點(diǎn)H,連接AH,
則AH⊥平面BCD,
連接BH,
則∠ABH是AB與平面BCD所成角,
則AB=\sqrt{2},AM=MH=AN=1,
則AH=\frac{\sqrt{3}}{2},
則sin∠ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}
解:(3)在BN線段取點(diǎn)R使得\frac{AP}{PB}=\frac{NR}{RB}=\frac{NQ}{QD}=λ(λ∈R)
從而易得PR∥AN且RQ∥BDA,θ1=∠PQR,θ2=∠QPR
另一方面,AM⊥BD,MN⊥BD,從而θ=∠AMN.
∵AM⊥BD,MN⊥BD,AM∩MN=M,
∴BD⊥AN,
∵PR∥AN,RQ∥BD,
∴∠PRQ=\frac{π}{2}
從而有θ12=\frac{π}{2},
則sinθ1+sinθ2=sinθ1+cosθ1=\sqrt{2}sin(θ1+\frac{π}{4})∈(1,\sqrt{2}].

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查線面垂直的應(yīng)用,線面角的求解,以及立體幾何與三角函數(shù)的綜合問題,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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