分析 (1)取BC的中點N,連接AN交BD于M,利用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面AMN即可.
(2)得到∠AMN是二面角A-BD-C的平面角θ,根據(jù)線面角的定義得到∠ABH是AB與平面BCD所成角,結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進行求解即可.
(3)根據(jù)條件得到θ1+θ2=π2,利用消元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
解答 證明:(1)取BC的中點N,連接AN交BD于M,
∵BC=2AD=2AB=2√2,
∴四邊形ABND是正方形,
∴AM⊥BD,MN⊥BD,
∵AM∩MN=M,
∴BD⊥平面AMN,
∵ME?平面AMN,
∴BD⊥ME,
解:(2)若θ=π3,由(1)知∠AMN是二面角A-BD-C的平面角θ,
若θ=∠AMN=π3,從而△AMN為等邊三角形,
取MN的中點H,連接AH,
則AH⊥平面BCD,
連接BH,
則∠ABH是AB與平面BCD所成角,
則AB=√2,AM=MH=AN=1,
則AH=√32,
則sin∠ABH=AHAB=√32√2=√64.
解:(3)在BN線段取點R使得APPB=NRRB=NQQD=λ(λ∈R)
從而易得PR∥AN且RQ∥BDA,θ1=∠PQR,θ2=∠QPR
另一方面,AM⊥BD,MN⊥BD,從而θ=∠AMN.
∵AM⊥BD,MN⊥BD,AM∩MN=M,
∴BD⊥AN,
∵PR∥AN,RQ∥BD,
∴∠PRQ=π2,
從而有θ1+θ2=π2,
則sinθ1+sinθ2=sinθ1+cosθ1=√2sin(θ1+π4)∈(1,√2].
點評 本小題主要考查線面垂直的應(yīng)用,線面角的求解,以及立體幾何與三角函數(shù)的綜合問題,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性較強,有一定的難度.
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A. | {x|4x<2x+1} | B. | {(x,y)|y=x-1} | C. | {y=x-1} | D. | {y|y=log2(-x2+2x+1)} |
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A. | √22 | B. | √2 | C. | √3 | D. | √66 |
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