Question

14．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n∈N₊），
（1）計算a₂、a₃、a₄并由此猜想通項公式a_n；
（2）證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n∈N₊），分別令n=1，2，3，即可得出，猜想：a_n=$\frac{2}{2n-1}$．
（2）方法一：利用數(shù)學歸納法證明即可，
方法二：利用數(shù)列的遞推公式可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式即可．

解答 解：（1）在數(shù)列{a_n}中，∵a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n∈N*）
∴a₁=2=$\frac{2}{1}$，a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{{a}_{2}}{1+{a}_{2}}$=$\frac{2}{5}$，a₄=$\frac{{a}_{3}}{1+{a}_{3}}$=$\frac{2}{7}$，
∴可以猜想這個數(shù)列的通項公式是a_n=$\frac{2}{2n-1}$．   
（2）方法一：下面利用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，成立；
②假設(shè)當n=k時，a_k=$\frac{2}{2k-1}$．
則當n=k+1（k∈N^*）時，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+{a}_{k}}$=$\frac{\frac{2}{2k-1}}{1+\frac{2}{2k-1}}$=$\frac{2}{2k+1}$，
因此當n=k+1時，命題成立．
綜上①②可知：?n∈N^*，a_n=$\frac{2}{2k-1}$都成立，
方法二：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∵a₁=2，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$

點評 本題考查了數(shù)學歸納法、遞推公式、數(shù)列的通項公式，考查了猜想歸納能力與計算能力，屬于中檔題．