Question

9．平面內(nèi)定點財（1，0），定直線l：x=4，P為平面內(nèi)動點，作PQ丄l，垂足為Q，且$|\overrightarrow{PQ}|=2|\overrightarrow{PM}|$．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II ）過點M與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交動點P的軌跡于點A、B，線段AB的垂直平分 線交x軸于點H，試判斷$\frac{|HM|}{|AB|}$-是否為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y），由題意可得Q（4，y），又M（1，0），結(jié)合且$|\overrightarrow{PQ}|=2|\overrightarrow{PM}|$．即可求得點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)過點M的直線斜率存在時的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得（3+4k²）x^2-8k²x+4k²-12=0．
利用韋達(dá)定理，可求AB的中點D（x₀，y₀），令y=0可得H坐標(biāo)，利用弦長公式求出|HM|、|AB|即可．

解答 ：（1）設(shè)P（x，y），則由已知得Q（4，y），又M（1，0），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（4-x，0），$\overrightarrow{PM}$=（1-x，-y），
∵$|\overrightarrow{PQ}|=2|\overrightarrow{PM}|$．∴4[（1-x）²+y²]=（4-x）²，
整理得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）依題意直線AB的斜率垂直且不為0，可設(shè)AB：y=k（x-1）（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得（3+4k²）x^2-8k²x+4k²-12=0．
∴x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
設(shè)AB的中點為D（x₀，y₀），
${x}_{0}=\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{y}_{0}=k（{x}_{0}-1）=\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$，
線段AB的垂直平分線為：y-$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}=-\frac{1}{k}（x-\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）$，令y=0，${x}_{H}=\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴|HM|=|1-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$|=$\frac{3（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
斷$\frac{|HM|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$（定值）．

點評 本題考查了動點P的軌跡方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)和直線與圓位置關(guān)系，弦長公式等知識，突出方程思想，轉(zhuǎn)化思想的考查與運(yùn)用，屬于中檔題．