Question

14．設函數(shù)$f（x）=\frac{{6sinxcosx-4cosx{{sin}^3}x}}{{2\sqrt{2}+sin（2x+\frac{π}{4}）+cos（2x+\frac{π}{4}）}}$，則（　　）

• A． y=f（x）是偶函數(shù)，在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增
• B． y=f（x）是奇函數(shù)，在$（0，\frac{π}{4}）$上單調(diào)遞增
• C． y=f（x）是偶函數(shù)，在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減
• D． y=f（x）是奇函數(shù)，在$（0，\frac{π}{4}）$上單調(diào)遞減

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得單調(diào)性和奇偶性，從而得解．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{6sinxcosx-4cosx{{sin}^3}x}}{{2\sqrt{2}+sin（2x+\frac{π}{4}）+cos（2x+\frac{π}{4}）}}$=$\frac{3sin2x-sin2x+sin2xcos2x}{\sqrt{2}cos2x+2\sqrt{2}}$=$\frac{sin2x（2+cos2x）}{\sqrt{2}（cos2x+2）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，可得f（x）在$（0，\frac{π}{4}）$上單調(diào)遞增，且利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得f（x）為奇函數(shù)．
故選：B．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．