Question

4．已知曲線C：y=e^x和直線l：ax+by=0，若直線l上有且只有兩個(gè)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在曲線C上，則$\frac{a}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-e）
• B． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)k=-$\frac{a}$，求出l關(guān)于y軸的對稱直線方程，把直線l上有且只有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在曲線Γ：y=e^x上，轉(zhuǎn)化為直線y=-kx與y=e^x有兩個(gè)交點(diǎn)，然后求出過原點(diǎn)與曲線Γ：y=e^x相切的直線的斜率得答案．

解答 解：設(shè)k=-$\frac{a}$，直線l：y=kx關(guān)于y軸的對稱直線方程為y=-kx，
要使直線l上有且只有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在曲線Γ：y=e^x上，
則直線y=-kx與y=e^x有兩個(gè)交點(diǎn)，
如圖，設(shè)過原點(diǎn)的直線切曲線y=e^x于P（m，e^m），
由y=e^x，得y′=e^x，∴y′=e^m，
則切線方程為y-e^m=e^m（x-m），
把O（0，0）代入，可得m=1，
∴切線的斜率k=e¹=e，
∴-k＞e，則k＜-e，
∴-$\frac{a}$＜-e，
∴$\frac{a}$的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．