Question

14．某單位實(shí)行休年假制度三年以來(lái)，50名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

休假次數(shù)	0	1	2	3
人數(shù)	5	10	20	15

根據(jù)表中信息解答以下問(wèn)題：
（1）從該單位任選兩名職工，求這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率；
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）從該單位50名職工任選兩名職工，基本事件總數(shù)n=${C}_{50}^{2}$，這兩人休年假次數(shù)之和為4包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{20}^{2}+{C}_{10}^{1}{C}_{15}^{1}$，由此能求出這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率．
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵從該單位50名職工任選兩名職工，基本事件總數(shù)n=${C}_{50}^{2}$，
這兩人休年假次數(shù)之和為4包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{20}^{2}+{C}_{10}^{1}{C}_{15}^{1}$，
∴這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率：
p=$\frac{m}{n}=\frac{{C}_{20}^{2}+{C}_{10}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{68}{245}$．
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，
則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，
于是$P（ξ=0）=\frac{{C_5^2+C_{10}^2+C_{20}^2+C_{15}^2}}{{C_{50}^2}}=\frac{2}{7}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_5^1C_{10}^1+C_{10}^1C_{20}^2+C_{15}^1C_{20}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{22}{49}$，
$P（ξ=2）=\frac{{C_5^2C_{20}^1+C_{10}^1C_{15}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{10}{49}$，
$P（ξ=3）=\frac{{C_5^1C_{15}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{3}{49}$．
從而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{22}{49}$	$\frac{10}{49}$	$\frac{3}{49}$

ξ的數(shù)學(xué)期望：$Eξ=0×\frac{2}{7}+1×\frac{22}{49}+2×\frac{10}{49}+3×\frac{3}{49}=\frac{51}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．