Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和長軸長；
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的左焦點，P為直線x=-3上任意一點，過點F作直線PF的垂線交橢圓C于M，N，記d₁，d₂分別為點M和N到直線OP的距離，證明：d₁=d₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)可知：c=2，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2b，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得直線MN的方程，代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標(biāo)公式可知求得MN的中點T，由k_OT=k_OP，由三角形全等的判定和性質(zhì)可知：d₁=d₂．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知橢圓的焦點在x軸上，2c=4，c=2，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2b，
由a²=b²+c²，解得a²=6，b²=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，橢圓C的長軸長為$2\sqrt{6}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點F的坐標(biāo)為（-2，0），設(shè)點P的坐標(biāo)為（-3，m），
則直線PF的斜率${k_{PF}}=\frac{m-0}{-3-（-2）}=-m$，
當(dāng)m≠0時，直線MN的斜率${k_{MN}}=\frac{1}{m}$，直線MN的方程是x=my-2，
當(dāng)m=0時，直線MN的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將直線MN的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
得$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，消去x，得（m²+3）y²-4my-2=0，
其判別式△=16m²+8（m²+3）＞0，
所以${y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{{m^3}+3}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}$，${x_1}+{x_2}=m（{y_1}+{y_2}）-4=\frac{-12}{{{m^2}+3}}$，
設(shè)T為線段MN的中點，則點T的坐標(biāo)為$（\frac{-6}{{{m^2}+3}}，\frac{2m}{{{m^2}+3}}）$，
所以直線OT的斜率${k_{OT}}=-\frac{m}{3}$，
又直線OP的斜率${k_{OP}}=-\frac{m}{3}$，
所以點T在直線OP上，
由三角形全等的判定和性質(zhì)可知：d₁=d₂．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，中點坐標(biāo)公式，考查計算能力，屬于中檔題．