Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}]$
（1）當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，求f（x）的最值；
（2）若f（x）在$x∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}]$上是單調(diào)函數(shù)，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函數(shù)值得到f（x），求出對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)所給的區(qū)間，求出最值即可；
（2）需要分類(lèi)討論，當(dāng)cosθ=0時(shí)，不滿(mǎn)足條件，
當(dāng)cosθ≠0，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸求cosθ的范圍，從而求出θ的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}]$，
θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，則cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x²+x-1，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]上為減函數(shù)，在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{5}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{4}$；
（2）當(dāng)cosθ=0時(shí)，f（x）=x²-1，在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）上到單調(diào)遞減，在[0，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞增，
∵f（x）在區(qū)間[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，
∴cosθ=0不成立，
即cosθ≠0，
∵f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=-cosθ，
∴-cosθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-cosθ≥$\frac{1}{2}$，
即cosθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或cosθ≤-$\frac{1}{2}$，
∴2kπ-$\frac{π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{2π}{3}$≤θ≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z；
又θ∈[0，2π]，
∴θ的取值范圍是[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．