Question

10．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，則a²+b²最小值是$\frac{1}{2}$，$\sqrt{a}+\sqrt$最大值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，首先有基本不等式可得1=a+b≥2$\sqrt{ab}$，即$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2}$，對(duì)于a²+b²，將其變形可得a²+b²=（a+b）²-2ab=1-2ab，結(jié)合$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2}$，分析可得其最小值；對(duì)于$\sqrt{a}+\sqrt$，有（$\sqrt{a}+\sqrt$）2=a+b+2$\sqrt{ab}$=1+2$\sqrt{ab}$，結(jié)合$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2}$，分析可得其最大值；即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，則有1=a+b≥2$\sqrt{ab}$，即$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2}$，
a²+b²=（a+b）²-2ab=1-2ab≥$\frac{1}{2}$，即a²+b²最小值是$\frac{1}{2}$，
對(duì)于$\sqrt{a}+\sqrt$，有（$\sqrt{a}+\sqrt$）2=a+b+2$\sqrt{ab}$=1+2$\sqrt{ab}$≤2，
則有$\sqrt{a}+\sqrt$≤$\sqrt{2}$；
則$\sqrt{a}+\sqrt$最大值是$\sqrt{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵要熟悉基本不等式的形式，并能靈活應(yīng)用．