Question

【題目】已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過右焦點(diǎn)的直線：與橢圓交于，兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，是橢圓的下頂點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，直線、分別與直線交于、點(diǎn)，證明：當(dāng)變化時(shí)，以線段為直徑的圓與直線相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由與橢圓交于兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，是橢圓的下頂點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為6，得，，解得，即可得到本題答案;

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得，，先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可以表示出以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后由圓心到直線的距離等于半徑，即可得到本題答案.

（1）由題意知，，∴①

又當(dāng)時(shí)，直線的方程為，∴，∴②

聯(lián)立①、②有，，∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)、，

將直線：代入中有，

∴，，

此時(shí)：，：，

∴、，

∴以線段為直徑的圓的方程為.

化簡(jiǎn)得：，

又圓心到直線：的距離為.

∴以線段為直徑的圓與直線相切.