Question

5．設(shè)橢圓x²+2y²=8與y軸相交于A，B兩點（A在B的上方），直線y=kx+4與該橢圓相交于不同的兩點M，N，直線y=1與BM交于G．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求證：A，G，N三點共線．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a和c的值，則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）方法一：代入橢圓方程方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，-1），$\overrightarrow{AN}$=（x_N，kx_N+2），由$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$（kx_N+2）=-x_N，A，G，N三點共線；
方法二：由題意可知：k_MA-k_GA=$\frac{k{x}_{N}+2}{{x}_{N}}$-$\frac{-1}{\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}}$，由韋達(dá)定理求得k_MA-k_GA=0，即可求證A，G，N三點共線．

解答 解：（1）由題意的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，則a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=2，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明：方法一：曲線$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，當(dāng)x=0時，y=±2，
故A（0，2），B（0，-2），
將直線y=kx+4代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，
若y=kx+4與曲線C交于不同兩點M，N，
則△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$，設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
由韋達(dá)定理得：x_M+x_N=-$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$，①，x_Mx_N=$\frac{24}{1+2{k}^{2}}$，②
MB方程為：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}$x-2，則G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），
∴$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，-1），$\overrightarrow{AN}$=（x_N，kx_N+2），
欲證A，G，N三點共線，只需證$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$共線，
即$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$（kx_N+2）=-x_N，
將①②代入可得等式成立，
則A，G，N三點共線得證．
方法二：將直線y=kx+4代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，
則△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$，
由韋達(dá)定理得：x_M+x_N=-$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$，（1）x_Mx_N=$\frac{24}{1+2{k}^{2}}$，（2）
設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
MB方程為：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}$x-2，則G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），
則k_NA-k_GA=$\frac{k{x}_{N}+2}{{x}_{N}}$-$\frac{-1}{\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}}$=k+$\frac{2}{{x}_{N}}$+$\frac{k}{3}$+$\frac{2}{{x}_{M}}$=$\frac{4k}{3}$+2（$\frac{{x}_{M}+{x}_{N}}{{x}_{M}{x}_{N}}$），
將①②代入上式：k_NA-k_GA=0，
∴A，G，N三點共線．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，直線共線的求法，考查計算能力，屬于中檔題．