Question

14．在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ（0≤θ＜2π），點M（1，$\frac{π}{2}$），以極點O為原點，以極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）與曲線C交于A，B兩點，且|MA|＞|MB|．
（1）若P（ρ，θ）為曲線C上任意一點，求ρ的最大值，并求此時點P的極坐標；
（2）求$\frac{|MA|}{|MB|}$．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ=2$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$（0≤θ＜2π），當θ=$\frac{π}{4}$時，ρ取得最大值，可得P．
（2）由ρ=2cosθ+2sinθ可得：ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．點M（1，$\frac{π}{2}$）化為（0，1），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入圓的方程可得：t²-$\sqrt{2}$t-1=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．由t的幾何意義可得：|MA|，|MB|．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ=2$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$（0≤θ＜2π），
當θ=$\frac{π}{4}$時，ρ取得最大值2$\sqrt{2}$，此時P$（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$．
（2）由ρ=2cosθ+2sinθ可得：ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐標方程：x²+y²-2x-2y=0．
配方為：（x-1）²+（y-1）²=2．
點M（1，$\frac{π}{2}$）化為（0，1），
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入圓的方程可得：t²-$\sqrt{2}$t-1=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
∵|MA|＞|MB|．由t的幾何意義可得：|MA|=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，|MB|=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
∴$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$=2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程的應用、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．