Question

11．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），（其中a＞1）
（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域并判斷其奇偶性
（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，可得定義域，利用定義可判斷奇偶性；
（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，求解f（x）+g（x）＜0成立的x的取值集合．

解答 解：函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），
令F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）
（1）則F（x）的定義域滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，
可得：-1＜x＜1，
∴定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
由F（-x）=f（-x）+g（-x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）=F（x）
∴F（x）是偶函數(shù)．
（2）∵f（x）+g（x）＜0，即log_a（x+1）+log_a（1-x）＜0，
∴l(xiāng)og_a（x+1）（1-x）＜0．
∵a＞1，
∴（x+1）（1-x）＜1，
解得：x≠0．
∵定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
∴使f（x）+g（x）＜0成立的x的取值集合為（-1，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．