Question

17．已知向量$\overrightarrow m=（{a，1，-b}），\overrightarrow n=（{b，1，1}）（{a＞0，b＞0}）$，若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，則$\frac{1}{a}+4b$的最小值為9．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由于$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ab+1-b=0，即a+$\frac{1}$=1；進而分析有$\frac{1}{a}+4b$=（$\frac{1}{a}+4b$）（a+$\frac{1}$）=5+4ab+$\frac{1}{ab}$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，向量$\overrightarrow m=（{a，1，-b}），\overrightarrow n=（{b，1，1}）（{a＞0，b＞0}）$，
若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，則有$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ab+1-b=0，即a+$\frac{1}$=1；
$\frac{1}{a}+4b$=（$\frac{1}{a}+4b$）（a+$\frac{1}$）=5+4ab+$\frac{1}{ab}$≥5+2$\sqrt{4}$=9；
即$\frac{1}{a}+4b$的最小值為9；
故答案為：9．

點評 本題考查基本不等式的應(yīng)用，涉及空間向量的垂直的性質(zhì)，關(guān)鍵是分析得到a+$\frac{1}$=1．