Question

9．已知雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$與雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率相同，且雙曲線C₂的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，M是雙曲線C₂一條漸近線上的某一點，且OM⊥MF₂，${S_{△OM{F_2}}}=8\sqrt{3}$，則雙曲線C₂的實軸長為（　�。�

• A． 4
• B． $4\sqrt{3}$
• C． 8
• D． $8\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出雙曲線的離心率，然后利用a，b，c的關系求出漸近線的方程，結合三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$中，a₁=$\sqrt{6}$，c₁=$\sqrt{6+2}$=2$\sqrt{2}$，則離心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，
即c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，則b²=c²-a²=$\frac{1}{3}$a²，得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，即$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設雙曲線的漸近線為y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0，
則右焦點F₂，
∵OM⊥MF₂，
∴MF₂=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}=b$，
則漸近線y=$\frac{a}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，則漸近線的傾斜角∠MOF₂=30°，∠OF₂M=60°，
則OF₂=2MF₂，即c=2b，
則三角形的面積${S_{△OM{F_2}}}=8\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$OF₂MF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×b•2b•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b²，
則b²=16，則a²=3b²=48，則a=4$\sqrt{3}$，
則2a=$8\sqrt{3}$，
即雙曲線C₂的實軸長為$8\sqrt{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線性質的應用，根據(jù)雙曲線離心率，漸近線以及三角形的面積建立方程關系是解決本題的關鍵．