Question

14．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若sin（B-A）+sin（B+A）=3sin2A，且c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，則△ABC的面積是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{7\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$或$\frac{7\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)sin（B-A）+sin（B+A）=3sin2A，可得2sinBcosA=6sinAcosA，即（6sinA-2sinB）cosA=0．根據(jù)正余弦定理求解即可．

解答 解：由題意，sin（B-A）+sin（B+A）=3sin2A，
可得2sinBcosA=6sinAcosA，即（6sinA-2sinB）cosA=0，
∴cosA=0或3sinA=sinB．
①當(dāng)cosA=0時(shí)，A=90°．
∵c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴B=$\frac{π}{6}$．
b=tanB•c=$\frac{\sqrt{21}}{3}$
那么△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．
②當(dāng)3sinA=sinB，由正弦定理，可得3a=b…①．
cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$⇒a²+b²-7=ab…②
解得a=1，b=3．
那么△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等式的化簡能力和正余弦定理的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．