Question

5．如圖所示，在△ABC中，AB=3$\sqrt{6}，B=\frac{π}{4}$，D是BC邊上一點，且∠ADB=$\frac{π}{3}$
（Ⅰ）求BD的長；
（Ⅱ）若CD=10，求AC的長及△ADC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABD中，由已知利用正弦定理即可計算得解BD的值．
（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求AD的值，在△ACD中，由余弦定理可求AC的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABD中，由，BD=$\frac{ABsin∠BAD}{sin∠ADB}$=$\frac{3\sqrt{6}sin\frac{7π}{12}}{sin\frac{π}{3}}$，
∴BD=3$\sqrt{3}+3$．  …（4分）
（Ⅱ）AD=$\frac{ABsinB}{sin∠ADB}$=$\frac{3\sqrt{6}sin\frac{π}{4}}{sin\frac{π}{3}}$，
∴AD=6，
在△ACD中，由余弦定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AD•CD•cos∠ADC}$=14． …（8分）
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC=$\frac{1}{2}×6×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$．                      …（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．