Question

13．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=$\frac{π}{2}$，DC=2AB=2BC=2$\sqrt{2}$，以直線AD為旋轉軸旋轉一周的都如圖所示的幾何體．
（1）求幾何體的表面積；
（2）求幾何體的體積．

Answer 1

分析 由已知通過求解三角形可得組合體的底面半徑及母線長．
（1）由圓臺上底面面積、側面積、圓錐側面積的和得答案；
（2）由圓臺與圓錐的體積作和得答案．

解答 解：在梯形ABCD中，∵DC=2AB=2BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=$\sqrt{2}$，又∠B=$\frac{π}{2}$，
∴AC=2，過A作AE⊥CD，垂足為E，則AE=ED=$\sqrt{2}$，得AD=2．
過B作DA延長線的垂線BF，垂足為F，可得AF=BF=1．
以直線AD為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體為一個圓錐和一個圓臺的組合體．
（1）幾何體的表面積為圓臺上底面面積、側面積、圓錐側面積的和，
等于$π×{1}^{2}+\frac{1}{2}×（2π×1+2π×2）×\sqrt{2}+\frac{1}{2}$×$2π×2×2\sqrt{2}$=$7\sqrt{2}π+π$；
（2）幾何體的體積為圓臺與圓錐的體積和，
等于$\frac{1}{3}π×1×（{1}^{2}+1×2+{2}^{2}）+\frac{1}{3}π×{2}^{2}×2$=$\frac{15}{3}π=5π$．

點評 本題考查柱、錐、臺體的表面積與體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．