Question

1．已知函數(shù)f（x）=|ax-b|+|x+c|．
（1）當a=c=3，b=1時，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若a=1，c＞0，b＞0，f（x）_min=1，求$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）的解析式，再根據(jù) f（x）_min=1，求得b+c=1，再利用基本不等式求得故$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的 最 小 值．

解答 解：（1）當 a=c=3，b=1 時，f（ x）=|3x-1|+|x+3|，∴不 等 式 f（ x）≥4，可 化 為|3x-1|+|x+3|≥4，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-4x-2≥4}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜\frac{1}{3}}\\{2x-4≥4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{3}}\\{4x+2≥4}\end{array}\right.$③；
解①求得x≤-3；解②求得x∈∅；解③求得x≥$\frac{1}{2}$．
綜上可得，不等式f（x）≥4的解集為{x|x≤-3，或x≥$\frac{1}{2}$}．
（2）當 a=1，c＞0，b＞0 時，f（ x）=|x-b|+|x+c|≥|x-b-（ x+c）|=|b+c|=b+c，
又 f（x）_min=1，∴b+c=1，∴$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{b+c}$+$\frac{b+c}{c}$=2+$\frac{c}$+$\frac{c}$≥2+2$\sqrt{\frac{c}•\frac{c}}$=4，當且僅當b=c時，取等號，
故$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$的 最 小 值 為 4．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．