Question

5．若直線y=kx+2與曲線$x=\sqrt{{y^2}+6}$交于不同的兩點，那么k的取值范圍是（　　）

• A． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}，\frac{{\sqrt{15}}}{3}$）
• B． （$0，\frac{{\sqrt{15}}}{3}$）
• C． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}，0$）
• D． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}，-1$）

Answer 1

分析 曲線$x=\sqrt{{y^2}+6}$是焦點在x軸上的雙曲線的右支，由直線y=kx+2與雙曲線方程聯(lián)立得：（1-k²）x²-4kx-10=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結(jié)合圖象能求出k的取值范圍．

解答 解：如圖，曲線$x=\sqrt{{y^2}+6}$是焦點在x軸上的雙曲線的右支，
由直線y=kx+2與雙曲線方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{x=\sqrt{{y}^{2}+6}}\end{array}\right.$，
消去y，得：（1-k²）x²-4kx-10=0
∵x₁x₂＞0，∴-$\frac{10}{1-{k}^{2}}$＞0，
∴k²＞1，解得k＞1或k＜-1，
又x₁+x₂＞0，∴$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$＞0，解得k＜0，
∴k＜-1，
又△=（4k²）+40（1-k²）＞0，整理得k²＜$\frac{5}{3}$，
解得-$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{15}}{3}＜k＜-1$或1＜k＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
又由題意，直線與右支交于兩點，由圖象知k的取值范圍是-$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜k＜-1．
故選：D．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查雙曲線、直線方程、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．