Question

13．已知圓C：x²+y²-8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0，
（1）當a為何值時，直線l與圓C相切．
（2）當直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{2}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）圓C的圓心C（0，4）半徑r=2，由直線l：ax+y+2a=0與圓相切，利用點到直線距離公式列出方程，能求出a的值．
（2）直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{2}$時，d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，再由圓心到直線的距離d=$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，列出方程，求出a，由此能求出直線方程．

解答 （12分）解：（1）設圓心到直線的距離為d，
圓C：x²+y²-8y+12=0的圓心C（0，4）半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{64-48}$=2，------1分
∵直線l：ax+y+2a=0與圓相切，
∴d=$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，解得a=-$\frac{3}{4}$．---5分
（2）∵圓心到直線的距離d=$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{2}$時，d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，-----7分
∴d=$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，解得a=-7或a=-1．
∴所求直線為7x-y+14=0或x-y+2=0．------12分

點評 本題主要考查直線和圓相切時實數(shù)值的求法，考查直線方程的求法，考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．