Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$-m（m∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若對任意的x∈[-1，0]，都有0≤f（x）≤1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意只需m•4^x-m•2^x+1=0有解，⇒m=-$\frac{1}{{4}^{x}-{2}^{x}}$，（x≠0），求出-$\frac{1}{{4}^{x}-{2}^{x}}$的范圍，即可求得實數(shù)m的取值范圍；
（2）令t=2^x，（$\frac{1}{2}≤$t≤1），只需$\left\{\begin{array}{l}{mt+\frac{1}{t}-m≥0}\\{mt+\frac{1}{t}-m≤1}\end{array}\right.$在t∈[$\frac{1}{2}$，1）恒成立即可，分別求解實數(shù)m的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）有零點，∴方程$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$-m=0有解，
?m•4^x-m•2^x+1=0有解，⇒m=-$\frac{1}{{4}^{x}-{2}^{x}}$，（x≠0），
令t=2^x，（t＞0），4^x-2^x=t²-t$∈[-\frac{1}{4}，0）∪（0，+∞）$，
則-$\frac{1}{{4}^{x}-{2}^{x}}$∈[4，+∞）∪（-∞，0），
∴實數(shù)m的取值范圍為：[4，+∞）∪（-∞，0）；
（2）令t=2^x，（$\frac{1}{2}≤$t≤1），
對任意的x∈[-1，0]，都有0≤f（x）≤1，
當x=0，即t=1時，顯然成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{mt+\frac{1}{t}-m≥0}\\{mt+\frac{1}{t}-m≤1}\end{array}\right.$在t∈[$\frac{1}{2}$，1）恒成立即可．
①m$≤-\frac{1}{{t}^{2}-t}$，
在t∈[$\frac{1}{2}$，1）時，-$\frac{1}{{t}^{2}-t}∈[4，+∞）$，∴m≤4，
$②mt+\frac{1}{t}-m≤1$⇒m≤$\frac{1}{t}$，⇒m≤1，
綜上，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題考查了函數(shù)零點問題、不等式恒成立問題處理方法，考查了分類思想，屬于中檔題．