Question

6．已知函數(shù)y=2sin（$\frac{π}{3}$-2x），
（1）求函數(shù)的周期；
（2）求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；
（3）求函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）化函數(shù)為y=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$），求出函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{2π}{|ω|}$；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]求得函數(shù)f（x）的值域即可．

解答 解：（1）函數(shù)y=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的周期為T(mén)=$\frac{2π}{|ω|}$=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z；
$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z；
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得2x∈[0，π]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，
∴函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域是[-2，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．