Question

1．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x+a|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求y=f（x）圖象與直線y=3圍成區(qū)域的面積；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}-3x（x＜-1）\\ 2-x（-1≤x＜\frac{1}{2}）\\ 3x（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，畫出其圖象如圖，根據(jù)圖象求解；
（Ⅱ）①當(dāng)$-a＞\frac{1}{2}$，即$a＜-\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（x＜\frac{1}{2}）\\ x-a-1（\frac{1}{2}≤x＜-a）\\ 3x+a-1（x≥-a）\end{array}\right.$，②當(dāng)$-a≤\frac{1}{2}$，即$a≥-\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（x＜-a）\\-x+a+1（-a≤x＜\frac{1}{2}）\\ 3x+a-1（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，分別求最值即可求解

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}-3x（x＜-1）\\ 2-x（-1≤x＜\frac{1}{2}）\\ 3x（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$
其圖象如圖所示，

易知，圍成區(qū)域的面積為$\frac{3}{2}$
（Ⅱ）①當(dāng)$-a＞\frac{1}{2}$，即$a＜-\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（x＜\frac{1}{2}）\\ x-a-1（\frac{1}{2}≤x＜-a）\\ 3x+a-1（x≥-a）\end{array}\right.$
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}-a-1$；
又$f{（x）_{min}}=1⇒\frac{1}{2}-a-1=1⇒a=-\frac{3}{2}$，
②當(dāng)$-a≤\frac{1}{2}$，即$a≥-\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（x＜-a）\\-x+a+1（-a≤x＜\frac{1}{2}）\\ 3x+a-1（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=|\frac{1}{2}+a|$=$\frac{1}{2}+a=1⇒a=\frac{1}{2}$，
∴$a=-\frac{3}{2}$或$a=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查了分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．