Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-xlnx（x＞0）}\\{-{x^2}-\frac{3}{2}x（x≤0）}\end{array}}\right.$有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=1的對(duì)稱點(diǎn)在直線kx+y-1=0上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，1）$
• B． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$
• C． $（\frac{1}{3}，1）$
• D． $（\frac{1}{2}，2）$

Answer 1

分析 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y=kx+1與f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上各有兩個(gè)交點(diǎn)，借助函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出y=kx+1分別與f（x）的兩段圖象相切時(shí)的斜率即可得出k的范圍．

解答 解：直線kx+y-1=0關(guān)于直線y=1的對(duì)稱直線為-kx+y-1=0，
則直線-kx+y-1=0與y=f（x）的函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=1-lnx，
∴當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
作出y=f（x）與直線-kx+y-1=0的函數(shù)圖象，如圖所示：

設(shè)直線y=kx+1與y=2x-xlnx相切，切點(diǎn)為（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{1-ln{x}_{1}=k}\\{2{x}_{1}-{x}_{1}ln{x}_{1}=k{x}_{1}+1}\end{array}\right.$，解得：x₁=1，k=1，
設(shè)直線y=kx+1與y=-x²-$\frac{3}{2}x$（x＜0）相切，切點(diǎn)為（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{2}-\frac{3}{2}=k}\\{-{{x}_{2}}^{2}-\frac{3}{2}{x}_{2}=k{x}_{2}+1}\end{array}\right.$，解得x₂=-1，k=$\frac{1}{2}$．
∵直線y=kx+1與y=f（x）有4個(gè)交點(diǎn)，
∴直線y=kx+1與y=f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上各有2個(gè)交點(diǎn)，
∴$\frac{1}{2}$＜k＜1．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．