Question

8．在△ABC中，G點(diǎn)為△ABC的重心，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若b²+c²+bc=a²，且S_△ABC=2$\sqrt{3}$，則|AG|的最小值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 b²+c²+bc=a²，可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{1}{2}$，A∈（0，π），可得A．利用S_△ABC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}bc$sinA，可得bc．設(shè)D為BC的中點(diǎn)．由余弦定理可得：（2AD）²+a²=2（b²+c²），利用基本不等式的性質(zhì)可得：4AD²=b²+c²-bc≥bc=8，再利用AG=2GD即可得出．

解答 解：b²+c²+bc=a²，∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{1}{2}$，A∈（0，π），可得A=$\frac{2π}{3}$．
∵S_△ABC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}bc$sinA，∴bc=8．①
設(shè)D為BC的中點(diǎn)．
由余弦定理可得：（2AD）²+a²=2（b²+c²）②，
∴由①②可得：4AD²=b²+c²-bc≥bc=8，
∴AD的最小值是$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)G為△ABC的重心，AG=2GD．
∴AG的最小值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形重心性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．