Question

10．已知關于x的不等式ax³+x²+x≤lnx+$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 由題意可知，a≥0時不成立；可知a＜0，然后分a≤-1和a∈（-1，0），利用導數(shù)求得最值得答案．

解答 解：當a≥0時，取x=1，則ax³+x²+x=a+2＞2，lnx+$\frac{1}{x}$=1，不等式ax³+x²+x≤lnx+$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上不恒成立，
∴a＜0．
①當a≤-1時，ax³+x²+x≤-x³+x²+x，
令g（x）=-x³+x²+x，
g′（x）=-3x²+2x+1=-（3x+1）（x-1），
當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）上的極大值也是最大值為g（1）=1．
又f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上的極小值也是最小值為f（1）=ln1+1=g（1）．
∴f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立；
②當a∈（-1，0）時，取x=1，則ax³+x²+x=a+2＞1，lnx+$\frac{1}{x}$=1，不等式ax³+x²+x≤lnx+$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上不恒成立．
綜上，a≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題考查恒成立問題，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．