Question

5．已知$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為150°，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，則$\frac{λ}{μ}$的值為$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積公式求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，再根據(jù)向量$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，得到（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，代值化簡整理即可得到答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=1，
∵$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為150°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos150°=$\sqrt{3}$×1×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{3}{2}$
$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（λ-μ）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{AC}}^{2}$=-$\frac{3}{2}$（λ-μ）-3λ+μ=-$\frac{9}{2}$λ+$\frac{5}{2}$μ=0，
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{5}{9}$，
故答案為：$\frac{5}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩數(shù)比值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．