Question

19．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=6，E，F(xiàn)分別為BB₁，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁；
（2）求幾何體AA₁EBC的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AC₁交A₁C于點(diǎn)O，連接OE，OF，可得OE⊥AC．OE⊥AA₁．即OE⊥平面ACC₁A₁，于是平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．
（2）幾何體AA₁EBC是四棱錐C-AA₁EB，高為$h=4sin60°=2\sqrt{3}$，底面為直角梯形，面積為$S=\frac{1}{2}（3+6）×4=18$，利用體積公式求解．

解答 解：（1）如圖，連接AC₁交A₁C于點(diǎn)O，連接OE，OF，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，所以O(shè)A=OC₁．
又因?yàn)镕為AC中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CC₁且$OF=\frac{1}{2}C{C_1}$．
因?yàn)镋為BB₁中點(diǎn)，所以BE∥CC₁且$BE=\frac{1}{2}C{C_1}$．
所以BE∥OF且BE=OF，
所以四邊形BEOF是平行四邊形，所以BF∥OE．
因?yàn)锳B=CB，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，所以BF⊥AC，所以可得OE⊥AC．
因?yàn)锳A₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BF，所以可得OE⊥AA₁．
又AA₁，AC?平面ACC₁A₁，且AA₁∩AC=A，所以O(shè)E⊥平面ACC₁A₁．
因?yàn)镺E?平面A₁EC，所以平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

（2）幾何體AA₁EBC是四棱錐C-AA₁EB，高為$h=4sin60°=2\sqrt{3}$，底面為直角梯形，面積為$S=\frac{1}{2}（3+6）×4=18$，
得${V_{{A_1}-B{B_1}{C_1}C}}=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×18=12\sqrt{3}$，
故幾何體AA₁EBC的體積為${V_{A{A_1}EBC}}=\frac{1}{2}×4×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×6-12\sqrt{3}$=$12\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間面面垂直的判定，幾何體的體積，屬于中檔題．