Question

17．下列說法中，正確的有④⑤．（寫出所有正確說法的序號）
①已知關(guān)于x的不等式mx²+mx+2＞0的角集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是0＜m＜4．
②已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n、S_2n-S_n、S_3n-S_2n也構(gòu)成等比數(shù)列．
③已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1+{log_a}（{x+1}），x≥0\\{x^2}+（{4a-3}）x+3a，x＜0\end{array}\right.$（其中a＞0且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程$|{f（x）}|=2-\frac{x}{3}$恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則$\frac{1}{3}≤x≤\frac{3}{4}$．
④已知a＞0，b＞-1，且a+b=1，則$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$的最小值為$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．
⑤在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，A（1，1），則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是$[{-\frac{1}{2}-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}+\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 求出m的范圍判斷①；舉例說明②錯(cuò)誤；由減函數(shù)可知f（x）在兩段上均為減函數(shù)，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2-$\frac{x}{3}$的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷3a與2的大小關(guān)系，列出不等式組解出x的范圍判斷③；由a＞0，b＞-1，且a+b=1，變形可得$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$=$\frac{2}{a}+a$+b-1+$\frac{1}{b+1}$=$\frac{2}{a}+\frac{1}{2-a}$=f（a），0＜a＜2．利用導(dǎo)數(shù)求其最值判斷④；由三角形的外心和重心的概念，可得O既是外心也為重心，則有△BCD為圓O：x²+y²=1的內(nèi)接等邊三角形，又$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OB}$，由向量的數(shù)量積的定義和余弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍判斷⑤．

解答 解：①當(dāng)m=0時(shí)，關(guān)于x的不等式mx²+mx+2＞0的解集為R，當(dāng)m≠0時(shí)，
要使不等式mx²+mx+2＞0的解集為R，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-8m＜0}\end{array}\right.$，解得0＜m＜8，綜上，m的范圍為0≤m＜8，∴①錯(cuò)誤；
②等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n、S_2n-S_n、S_3n-S_2n也構(gòu)成等比數(shù)列錯(cuò)誤，如1，-1，1，-1，1，-1的前兩項(xiàng)和、中兩項(xiàng)和及后兩項(xiàng)和，組成的數(shù)列為0，0，0．顯然不是等比數(shù)列；
③∵f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴y=x²+（4a-3）x+3a在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
y=log_a（x+1）+1在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
且f（x）在（-∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4a}{2}≥0}\\{0＜a＜1}\\{3a≥1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$．
作出y=|f（x）|和y=2-$\frac{x}{3}$的函數(shù)草圖如圖所示：
∵|f（x）|=2-$\frac{x}{3}$恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
∴3a＜2，即a＜$\frac{2}{3}$．
綜上，$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{2}{3}$，故③錯(cuò)誤；
④∵a＞0，b＞-1，且a+b=1，∴$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$=$a+\frac{2}{a}+b-1+\frac{1}{b+1}$=$\frac{2}{a}+\frac{1}{2-a}$=f（a），0＜a＜2．
令f′（a）=$-\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{（2-a）^{2}}=\frac{-（{a}^{2}-8a+8）}{{a}^{2}（2-a）^{2}}$＞0，解得4-2$\sqrt{2}$＜a＜2，此時(shí)函數(shù)f（a）單調(diào)遞增；令f′（a）＜0，解得0＜a＜4-2$\sqrt{2}$，此時(shí)函數(shù)f（a）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=4-2$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)f（a）取得極小值即最小值，f（4-2$\sqrt{2}$）=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，故④正確；
⑤由|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，可知O為外心，由$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，可知O又為重心．
則有△BCD為圓O：x²+y²=1的內(nèi)接等邊三角形，
即有$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OD}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos120°-|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞
=-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞，由于0≤＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞≤π，
則-1≤cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞≤1，
即有$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$∈$[{-\frac{1}{2}-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}+\sqrt{2}}]$，故⑤正確．
∴正確命題是④⑤．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查恒成立問題的求解方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查平面向量的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，是中檔題．