Question

7．已知sin θ、cos θ是關(guān)于x的方程x²-ax+a=0的兩個根（a∈R）．
（1）求sin³θ+cos³θ的值；
（2）求tan θ+$\frac{1}{tanθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用韋達(dá)定理、結(jié)合正弦函數(shù)的值域求得a的值，再利用立方和公式求得sin³θ+cos³θ的值．
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值．

解答 解：（1）由題意利用韋達(dá)定理知：sin θ+cos θ=a，sin θ•cos θ=a．
∵（sin θ+cos θ）²=1+2sin θcos θ，∴a²=1+2a．
解得：a=1-$\sqrt{2}$或a=1+$\sqrt{2}$．
∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a≤1，
∴a=1+$\sqrt{2}$舍去，a=1-$\sqrt{2}$．
∴sin³θ+cos³θ=（sin θ+cos θ）（sin²θ-sin θcos θ+cos²θ）=（sin θ+cos θ） （1-sin θcos θ）
=a（1-a）=$\sqrt{2}$-2．
（2）tan θ+$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}{sinθ•cosθ}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$=-1-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查韋達(dá)定理、正弦函數(shù)的值域，立方和公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．