Question

8．設(shè)f（x）=lnx，f'（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，若$g（x）=f（x）-\frac{2}{f'（x）}-a$有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，ln$\frac{1}{2}$-1）．

Answer 1

分析 令g（x）=0得a=lnx-2x，判斷h（x）=lnx-2x的單調(diào)性，計(jì)算最值，得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx-2x-a，
令g（x）=0得a=lnx-2x（x＞0）．
令h（x）=lnx-2x，則h′（x）=$\frac{1}{x}$-2，
∴當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x$＞\frac{1}{2}$時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）的最大值為h（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-1，
又x→0時(shí)，h（x）→-∞，x→+∞時(shí)，h（x）→-∞，
a＜ln$\frac{1}{2}$-1．
故答案為：（-∞，ln$\frac{1}{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，也可利用函數(shù)圖象解出，屬于中檔題．