Question

12．拋物線N₁：y=ax²+bx+c與拋物線N₂：y=-ax²+dx+e的頂點(diǎn)分別為P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂），且兩拋物線相交于點(diǎn)A（12，21）與B（28，3）（均異于頂點(diǎn)），則$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$=$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 利用頂點(diǎn)坐標(biāo)和A，B兩點(diǎn)帶到方程中，找到系數(shù)之間的關(guān)系求解．

解答 解：∵拋物線N₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)P₁（x₁，y₁），A（12，21）與B（28，3）在拋物線上
則有：$-\frac{2a}={x}_{1}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}={y}_{1}$，144a+12b+c=21…①，28×28a+28b+c=3…②
又∵拋物線N₂：y=-ax²+dx+e的頂點(diǎn)坐標(biāo)P₂（x₂，y₂），A（12，21）與B（28，3）在拋物線上
則有：$\fracry6cvyc{2a}={x}_{2}$，$\frac{4ae+ualjbjg^{2}}{4a}$=y₂，-144a+12d+e=21…③，-28×28a+28d+e=3…④
由①+③=12（b+d）+（e+c）=42  …⑤
由②+④=28（b+d）+（e+c）=6…⑥
由⑤⑥解得：b+d=$-\frac{9}{4}$
e+c=69
又∵兩拋物線相交于點(diǎn)A（12，21）與B（28，3）
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+bx+c}\\{y=-a{x}^{2}+dx+e}\end{array}\right.$，整理化簡(jiǎn)得：2ax²+x（b-d）+（c-e）=0
則有：$\frac{d-b}{2a}=40$，$\frac{c-e}{2a}=12×28$．
那么：x₁+x₂=$\frac{d-b}{2a}$=40
y₁+y₂=$\frac{4a（c+e）+（d+b）（d-b）}{4a}$=（e+c）+$\frac{-\frac{9}{4}×80a}{4a}$=69-45=24
故：$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$=$\frac{40}{24}$=$\frac{5}{3}$
故答案為$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用以及運(yùn)算能力．會(huì)利用已知條件建立關(guān)系從而求解．本題的關(guān)鍵就是讀懂題意，靈活運(yùn)用A，B的坐標(biāo)，找到系數(shù)的關(guān)系．屬于中檔題．