Question

已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n2+n，n∈N*,數列{bn}滿足an=4log2bn+3，n∈N*.

(1)求an,bn; (2)求數列{an·bn}的前n項和Tn.

 

Answer 1

(1) an=4n-1，bn=2n-1(n∈N*)；（2）Tn=5+(4n-5)×2n.

【解析】

試題分析：(1)本小題中已知Sn是數列{an}的前n項和，且Sn的表達式已知，當n≥2時，an=Sn-Sn-1，而當n=1時，a1=S1且檢查是否符合前式，在an求出之后利用an=4log2bn+3求得bn；（2）可知an·bn的表達式是等差乘以等比形式，求這類數列的前n項和Tn，只需用錯位相減法可完成求和，即若等比數列的公比為q，則由Tn -qTn進行錯位相減，整理出Tn即可.

試題解析：(1)由Sn=2n2+n,可得：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1, 當n=1時，a1=3符合上式，所以an=4n-1(n∈N*).由an=4log2bn+3，可得4n-1=4log2bn+3, 解得bn=2n-1(n∈N*).

(2)anbn=(4n-1)·2n-1, ∴Tn=3+7×21+11×22+15×23+…+(4n-1)×2n-1，①

2Tn=3×21+7×22+11×23+15×24+…+(4n-1)×2n，②

①-②可得：

-Tn=3+4[21+22+23+24+…+2n-1]-(4n-1)×2n=3+4×-(4n-1)×2n=-5+(5-4n)×2n,

∴Tn=5+(4n-5)×2n.

考點：與的關系：，錯位相減法求和.