Question

14．已知棱長為$\sqrt{6}$的正四面體ABCD（四個面都是正三角形），在側(cè)棱AB上任取一點P（與A，B都不重合），若點P到平面BCD及平面ACD的距離分別為a，b，則$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 由題意可得：$\frac{1}{3}a•{S}_{△BCD}$+$\frac{1}{3}b{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}h•{S}_{△BCD}$，其中S_△BCD=S_△ACD，h為正四面體ABCD的高，可得h=2，a+b=2．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由題意可得：$\frac{1}{3}a•{S}_{△BCD}$+$\frac{1}{3}b{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}h•{S}_{△BCD}$，其中S_△BCD=S_△ACD，h為正四面體ABCD的高．
h=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}）^{2}}$=2，
∴a+b=2．
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}（a+b）（\frac{4}{a}+\frac{1}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a}+\frac{a}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}）$=$\frac{9}{2}$，當且僅當a=2=$\frac{4}{3}$時取等號．
故選：C．

點評 本題考查了正四面題的性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．