Question

10．已知函數(shù)f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$tanx的圖象相交于A，B，C三點，則△ABC的面積為$\frac{\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令sinx=$\frac{1}{3}$tanx，結(jié)合x∈[0，π]求出x的值，得出三個點A、B、C的坐標，即可計算△ABC的面積．

解答 解：根據(jù)題意，令sinx=$\frac{1}{3}$tanx，即sinx（1-$\frac{1}{3cosx}$）=0，解得sinx=0，或1-$\frac{1}{3cosx}$=0，
即sinx=0或cosx=$\frac{1}{3}$．
又x∈[0，π]，∴x=0或x=π，或x=arccos$\frac{1}{3}$，∴點A（0，0），B（π，0），C（arccos$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$•|AB|•|y_C|=$\frac{1}{2}•π•\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$π，
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}π}}{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，屬于中檔題．