Question

19．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow$|≥3，且|$\overrightarrow{a}$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，|$\overrightarrow$|成等比數(shù)列，則cos2θ的最大值為$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列得到cos²θ=$\frac{1}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$，根據(jù)，|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow$|≥3，得到范圍，然后利用倍角公式變形求最大．

解答 解：因?yàn)樵O(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow$|≥3，且|$\overrightarrow{a}$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，|$\overrightarrow$|成等比數(shù)列，所以|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|=（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²，所以cos²θ=$\frac{1}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$$≤\frac{1}{3}$，所以cos2θ$≤-\frac{1}{3}$，則cos2θ的最大值為$-\frac{1}{3}$；
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及倍角公式的運(yùn)用；關(guān)鍵是由已知得到2θ的余弦值的范圍．