14.已知函數(shù)f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)-x3+2
(1)若曲線:y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為e,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)當(dāng) m≥l 時(shí),證明:f(x)>g(x)

分析 (1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,解方程可得m;
(2)f(x)>g(x)即為ex+m>ln(x+1)+2.由函數(shù)y=ex-x-1,求得最小值,可得ex≥x+1,則ex+m>x+m+1,再由h(x)=x+m+1-ln(x+1)-2=x+m-ln(x+1)-1,求出導(dǎo)數(shù),求得最小值,由條件即可得證.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=ex+m-x3的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex+m-3x2,
在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為k=em=e,
解得m=1;
(2)證明:m≥l 時(shí),f(x)>g(x)即為
ex+m>ln(x+1)+2.
由y=ex-x-1的導(dǎo)數(shù)為y′=ex-1,
當(dāng)x>0時(shí),y′>0,函數(shù)遞增;當(dāng)x<0時(shí),y′<0,函數(shù)遞減.
即有x=0處取得極小值,也為最小值0.
即有ex≥x+1,則ex+m≥x+m+1,
由h(x)=x+m+1-ln(x+1)-2=x+m-ln(x+1)-1,
h′(x)=1-$\frac{1}{x+1}$,當(dāng)x>0時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增;
-1<x<0時(shí),h′(x)<0,h(x)遞減.
即有x=0處取得最小值,且為m-1,
當(dāng)m≥1時(shí),即有h(x)≥m-1≥0,
即x+m+1≥ln(x+1)+2,
則有f(x)>g(x)成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查不等式的證明,注意運(yùn)用構(gòu)造法,以及不等式的傳遞性,考查推理能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1B.$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1
C.$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-{n}^{2}}$=1D.$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}-{n}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1

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7.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,且過點(diǎn)($\sqrt{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)橢圓C上不同的兩點(diǎn)M,N滿足$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$$+\frac{1}{|ON{|}^{2}}$為定值.

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2.已知f(x)=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x2+cosx,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(x)的圖象大致是( 。
A.B.C.D.

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9.已知實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{4x-y≤8}\\{x-y≥-1}\end{array}\right.$,則z=x2+y2-2x的取值范圍是( 。
A.[0,19]B.[$-\frac{1}{5},3$]C.[$-\frac{1}{5},0$]D.[$-\frac{1}{5},19$]

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19.設(shè)向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$的夾角為θ,|$\overrightarrow{a}$|≥1,|$\overrightarrow$|≥3,且|$\overrightarrow{a}$|,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$,|$\overrightarrow$|成等比數(shù)列,則cos2θ的最大值為$-\frac{1}{3}$.

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A.$\frac{1}{1+k}$B.$\frac{1}{k}$C.$\frac{1}{{e({1+k})}}$D.$\frac{e}{1+k}$

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選修4—1:幾何證明選講

如圖,△是圓的內(nèi)接三角形,的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且切圓于點(diǎn)

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(2)若,且,求的長(zhǎng).

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A. B.

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