Question

20．如圖所示，在三棱錐A-BOC中，AO⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2$\sqrt{2}$，動點D在線段AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB
（Ⅱ）當OD⊥AB時，求三棱錐C-OBD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得AO⊥OC，求解在直角三角形可得OC⊥OB，再由線面垂直的判定可得OC⊥平面AOB，進一步得到平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）OD⊥AB時，求得OD=$\sqrt{3}$，此時BD=1．根據(jù)三棱錐的體積公式求解．

解答 （Ⅰ）證明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，
∴OC=OB=2．
又BC=2$\sqrt{2}$，∴OC⊥OB，
∴OC⊥平面AOB，
∵OC?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）解∵OD⊥AB，
∴BD=1，OD=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{C-OBD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×2=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查平面與平面垂直的判定，考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力，計算能力和推理能力，屬于中檔題．