16.已知數(shù)列{an}(n∈N*)是首項(xiàng)為20的等差數(shù)列,其公差d≠0,且a1,a4,a5成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)Sn>0時(shí),求n的最大值;
(Ⅲ)設(shè)bn=5-$\frac{{a}_{n}}{4}$,求數(shù)列{$\frac{1}{_{2n}_{2n+2}}$}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (Ⅰ)由等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,解方程可得公差d,即可得到所求通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求得Sn,解不等式-$\frac{20}{9}$(n2-10n)>0,即可得到所求n的最大值;
(Ⅲ)求得bn=-$\frac{10}{9}$(1-n),數(shù)列$\frac{1}{_{2n}_{2n+2}}$=$\frac{81}{100}$•$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{81}{200}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),再由數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)整理即可得到所求和.

解答 解:(Ⅰ)數(shù)列{an}(n∈N*)是首項(xiàng)為20的等差數(shù)列,其公差d≠0,
且a1,a4,a5成等比數(shù)列,
可得a42=a1a5
即為(20+3d)2=20(20+4d),
解得d=-$\frac{40}{9}$(d=0舍去),
數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=20-$\frac{40}{9}$(n-1)=$\frac{220-40n}{9}$;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,
可得Sn=20n-$\frac{1}{2}$n(n-1)•$\frac{40}{9}$=-$\frac{20}{9}$(n2-10n)>0,
解得0<n<10,
則n的最大值為9;
(Ⅲ)bn=5-$\frac{{a}_{n}}{4}$=5-$\frac{55-10n}{9}$=-$\frac{10}{9}$(1-n),
數(shù)列$\frac{1}{_{2n}_{2n+2}}$=$\frac{81}{100}$•$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
=$\frac{81}{200}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
可得前n項(xiàng)和Tn=$\frac{81}{200}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{81}{200}$×(1-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{81n}{100(2n+1)}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,同時(shí)考查等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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