Question

8．在平面直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2（1+cosα）}\\{y=2sinα}\end{array}$（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點P的極坐標為（ρ₀，$\frac{π}{2}$）．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）過點P作圓C的切線，切點分別為A，B兩點，且∠APB=120°，求ρ₀．

Answer 1

分析 （1）先求出圓的普通方程，再轉化為極坐標方程；（2）結合圖象求出PA的長，從而求出ρ₀的值即可．

解答 解：（1）圓的普通方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
∴圓C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）已知點P的極坐標為（ρ₀，$\frac{π}{2}$），
故P在y軸上，
畫出圓在直角坐標系中的圖象，如圖所示：
，
若P在y軸的上方，由∠APB=120°，
得∠AOP=30°，則tan∠AOP=$\frac{AP}{OA}$=$\frac{AP}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：AP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故ρ₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
若P在y軸的下方，則ρ₀=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉化，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．