Question

11．已知雙曲線C₂與橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1具有相同的焦點(diǎn)，則兩條曲線相交四個(gè)交點(diǎn)形成四邊形面積最大時(shí)雙曲線C₂的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求解面積最大值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：雙曲線C₂與橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1具有相同的焦點(diǎn)，可得c=1，
兩條曲線相交四個(gè)交點(diǎn)形成四邊形面積最大，設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為：（m，n），可得S=4mn，
$1=\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}$≥2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}•\frac{{n}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}mn$，當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{3}m=2n$時(shí)，mn≤$\sqrt{3}$，此時(shí)四邊形的面積取得最大值，
解得m=$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=$\sqrt{（\sqrt{2}+1）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（\sqrt{2}-1）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{9+4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{9-4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
雙曲線的離心率為：$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．