Question

20．已知a∈R，命題p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，命題q：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由于命題p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，令f（x）=x²-a，只要x∈[1，2]時(shí)，f（x）_min≥0即可得出當(dāng)命題p為真命題時(shí)，a≤1，命題q為真命題時(shí)，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a的取值范圍．由于命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，可知：命題p與命題q必然一真一假，解出即可．

解答 解：∵命題p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，令f（x）=x²-a，
根據(jù)題意，只要x∈[1，2]時(shí)，f（x）_min≥0即可，
也就是1-a≥0，解得a≤1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]；    
命題q為真命題時(shí)，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2或a≥1．
∵命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，
∴命題p與命題q必然一真一假，
當(dāng)命題p為真，命題q為假時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{-2＜a＜1}\end{array}\right.$，∴-2＜a＜1，
當(dāng)命題p為假，命題q為真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤-2或a≥1}\end{array}\right.$，∴a＞1，
綜上：a＞1或-2＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)、函數(shù)的性質(zhì)、方程的解、不等式組等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．