Question

1．設(shè)n＞1且為奇數(shù)，證明：n|（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n-1}$）（n-1）!

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．注意變形利用假設(shè)條件．

解答 證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=3時，$（1+\frac{1}{2}）×2！$=3，可以被3整除，因此成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=2k-1（k∈N^*，k≥2）時，（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2k-2}$）（2k-1）!=（2k-1）•m（m為正整數(shù)）．
則n=2k+1時，（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2k-2}$+$\frac{1}{2k-1}$+$\frac{1}{2k}$）（2k+2）!
=（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2k-2}$）（2k+2）!+（$\frac{1}{2k-1}$+$\frac{1}{2k}$）（2k+2）!=
=（2k-1）•m×2k（2k+1）（2k+2）+（2k-2）!（2k+1）（2k+2）
=（2k+1）•N，N=（2k-1）•m×2k×（2k+2）+（2k-2）!×（2k+2）為整數(shù)．
上式能夠被奇數(shù)2k+1整除，因此n=2k+1時假設(shè)成立．
綜上可得：命題成立．

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、階乘、整除的理論，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．