Question

20．在△ABC 中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$．
（Ⅰ）求證：a，b，c 成等差數(shù)列；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{3}$，b=4，求△ABC 的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式左邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，利用等差數(shù)列性質(zhì)判斷即可得證；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosB與b的值代入，利用完全平方公式變形，求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面積公式即可求出所求面積．

解答 解：（Ⅰ）證明：已知等式整理得：a•$\frac{cosC+1}{2}$+c•$\frac{cosA+1}{2}$=$\frac{3b}{2}$，
即a（cosC+1）+c（cosA+1）=3b，
利用正弦定理化簡得：sinA（cosC+1）+sinC（cosA+1）=3sinB，
整理得：sin（A+C）+sinA+sinC=3sinB，即sinB+sinA+sinC=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
利用正弦定理化簡得：a+c=2b，即b-a=c-b，
則a，b，c 成等差數(shù)列；
（Ⅱ）∵B=$\frac{π}{3}$，b=4，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即16=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=4b²-3ac=64-3ac，
整理得：ac=16，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=4$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．