20.在△ABC 中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且acos2$\frac{C}{2}$+ccos2$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$.
(Ⅰ)求證:a,b,c 成等差數(shù)列;
(Ⅱ)若B=$\frac{π}{3}$,b=4,求△ABC 的面積.

分析 (Ⅰ)已知等式左邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡,利用等差數(shù)列性質(zhì)判斷即可得證;
(Ⅱ)利用余弦定理列出關(guān)系式,把cosB與b的值代入,利用完全平方公式變形,求出ac的值,再由sinB的值,利用三角形面積公式即可求出所求面積.

解答 解:(Ⅰ)證明:已知等式整理得:a•$\frac{cosC+1}{2}$+c•$\frac{cosA+1}{2}$=$\frac{3b}{2}$,
即a(cosC+1)+c(cosA+1)=3b,
利用正弦定理化簡得:sinA(cosC+1)+sinC(cosA+1)=3sinB,
整理得:sin(A+C)+sinA+sinC=3sinB,即sinB+sinA+sinC=3sinB,
∴sinA+sinC=2sinB,
利用正弦定理化簡得:a+c=2b,即b-a=c-b,
則a,b,c 成等差數(shù)列;
(Ⅱ)∵B=$\frac{π}{3}$,b=4,
∴由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,
即16=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=4b2-3ac=64-3ac,
整理得:ac=16,
則S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=4$\sqrt{3}$.

點評 此題考查了正弦、余弦定理,二倍角的余弦函數(shù)公式,以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.

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 x-2 5
 f(x)-2-2  3
下列結(jié)論:
①函數(shù)f(x)在(0,3)上是增函數(shù);
②曲線y=f(x)在x=4處的切線可能與y軸垂直;
③如果當x∈[-2,t]時,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值為5;
④?x1,x2∈[-2,6],都有|f(x1)-f(x2)|≤a恒成立,則實數(shù)a的最小值是5,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
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