Question

3．如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD．
（1）證明：平面AEC⊥平面BED．
（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，AB=2，求點(diǎn)G到平面AED的距離．

Answer 1

分析 （1）只需證明AC⊥BD，AC⊥BE，即可證明AC⊥平面BED，
（2）取AD中點(diǎn)為M，連接EM．設(shè)點(diǎn)G到平面AED的距離為為h，則
三棱錐E-ADG的體積為${V}_{E-ADG}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AG×DG×BE$=${V}_{G-ADE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×EM×h$，
可求得點(diǎn)G到平面AED的距離

解答 解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，
所以AC⊥BD，…（1分）
因?yàn)锽E⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥BE，…（2分）
又因?yàn)镈B∩BE=B，所以AC⊥平面BED．…（3分）
又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED．…（5分）
（2）取AD中點(diǎn)為M，連接EM．
因?yàn)椤螦BC=120°．，AB=2，
所以AB=DB=2，AG=$\sqrt{3}$，DG=1，
因?yàn)锳E⊥EC，所以EG=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{3}$，所以BE=$\sqrt{2}$，…（6分）
所以AE=DE=$\sqrt{6}$，
又所以AD中點(diǎn)為M，所以EM⊥AD且EM=$\sqrt{5}$．設(shè)點(diǎn)G到平面AED的距離為為h，
則三棱錐E-ADG的體積為
V${V}_{E-ADG}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AG×DG×BE$=${V}_{G-ADE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×EM×h$，
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\sqrt{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}×h$，
解得h=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
所以點(diǎn)G到平面AED的距離為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．…（10分）
 

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面垂直的判定，等體積法求點(diǎn)面距離．屬于中檔題．