Question

11．設(shè)x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點(diǎn)．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若|x₁|+|x₂|=2，求b的最大值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當(dāng)x₂=a時，求證：|g（x）≤$\frac{1}{12}$a（3a+2）²．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），由x₁=-1，x₂=2是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點(diǎn)，列出方程組，能求出f（x）的解析式．
（2）f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），依題意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個根，且|x₁|+|x₂|=2，由此利用韋達(dá)定理、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出b的最大值．
（3）求出f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），求出${x}_{1}=-\frac{1}{3}$，從而|g（x）|=|a（x+$\frac{1}{3}$）[3（x-a）-1]|，由此能證明|g（x）≤$\frac{1}{12}$a（3a+2）²．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），
∵x₁=-1，x₂=2是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{'}（-1）=3a-2b-{a}^{2}=0}\\{{f}^{'}（2）=12a+4b-{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，且a＞0，
解得a=6，b=-9，
∴f（x）=6x³+9x²-36x．
（2）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依題意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個根，且|x₁|+|x₂|=2，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2b}{3a}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{a}{3}$，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=4，
∴（-$\frac{2b}{3a}$）²-2•（-$\frac{a}{3}$）+2|-$\frac{a}{3}$|=4，
∴b²=3a²（3-a），
∵b²≥0，∴0＜a≤3，
設(shè)P（a）=3a²（3-a），則p′（a）=-9a²+18a，
由P′（a）＞0，得0＜a＜2，由P′（a）＜0，得a＞2，
∴函數(shù)P（a）在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)，在區(qū)間（2，3）上是減函數(shù)，
當(dāng)a=2時，P（a）有極大值為12，∴P（a）在（0，3]上的最大值為12，
∴b的最大值為2$\sqrt{3}$．
證明：（3）∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩根，∴f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），
∵${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{a}{3}$，x₂=a，∴${x}_{1}=-\frac{1}{3}$，
∴|g（x）|=|3a（x+$\frac{1}{3}$）（x-a）-a（x+$\frac{1}{3}$）|=|a（x+$\frac{1}{3}$）[3（x-a）-1]|，
∵x₁＜x＜x{}_{2}，即-\frac{1}{3}＜x＜a，∴|g（x）|=a（x+\frac{1}{3}$）（-3x+3a+1），
∴|g（x）|=-3a（x+$\frac{1}{3}$）（x-$\frac{3a+1}{3}$）=-3a（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3{a}^{2}}{4}$+a²+$\frac{1}{3}a$
≤$\frac{3{a}^{2}}{4}+{a}^{2}+\frac{1}{3}a$=$\frac{a（3a+2）^{2}}{4}$+a²+$\frac{1}{3}a$=$\frac{a（3a+2）^{2}}{12}$，
∴|g（x）≤$\frac{1}{12}$a（3a+2）²．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求法，考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．